第一作者：Sean Molesky
通訊作者：Alejandro W. Rodriguez
通訊單位：普林斯頓大學
1. 背景
器件設計一直是納米光子學（nanophotonics）的核心課題之一。優秀的器件設計允許研究人員在波長尺度甚至亞波長尺度上實現對電磁場的有效操控和研究，例如降低電磁場群速度，將電磁場限域在亞波長空間范圍內，以及獲得高品質的光學共振等等。在過去相當長的時間里，納米光子器件的設計方法都是基于經典模板的啟發式設計。這套豐富并被廣泛使用的器件模板庫包括光子晶體、光子晶體共振腔、柱型共振腔、回音壁共振腔、表面等離子激元單元等等（見圖1）。
圖 1光子器件設計的發展過程。上圖：二十世紀下半葉，制造能力的提升使光子工程擴展到微米級和納米級。在過去的二十年中，這促成了光子學設計模板標準庫的快速發展。從左到右，顯示從Fabry-Pérot腔，光纖腔到微盤諧振器器件小型化的過程。a-f，納米光子器件模板庫實例。(a) PhC缺陷共振腔，(b)PhC光纖，(c)柱型共振腔，(d)微環諧振器，(e)納米束諧振器，(f)表面離子激元陣列。下圖g-y：文中提到了使用逆向設計獲得的納米光子器件結構。(g) 1998-1999來自Spühler等人的SiO2/SiON電信光纖脊波導耦合器，(h)來自Dobson和Cox等人的二維PhC；(i)2003-2008，Borel等人在硅基PhC中的利用拓撲優化設計的'Z'型波導；(j)Frei等人設計的單模缺陷腔；(k)來自H?kansson和Sánchez-Dehesa等人的1.50×1.55μm多路器；(l) Kao等人利用水平集優化獲得的PhC；(m)Jensen和Sigmund等人設計的90°PhC彎折波導；(n)來自Borel等人的利用納米壓印制造的雙端多路器。(o)2008-2015來自Tsuji和Hirayama的90°彎折波導；(p)Lu等人利用反向設計獲得多孔波導纖維的橫截面；(q)來自Alaeian等人設計的用于太陽能吸收的徑向結硅線陣列的單元電池；(r)由Ganapati等人計算優化的表面紋理產生的太陽能吸收增強；(s)來自Men等人的三維fcc帶隙優化的PhC；(t)由Liu等設計的受變換光學啟發的彎折波導。(u)2015-2017由Ilic等人的優化設計的分層熱發射器；(v)Frellsen等人設計的三端多路分離器；(w) Piggott等人的設計的雙端口多路器以及和寬頻1:3功率分配器；(x)來自Otomori等人利用拓撲優化設計的超透鏡和相應的磁場幅度分布；(y)由Yu等人設計的緊湊型片上Fabry-Pérot諧振器。
盡管這套設計方法可以應對大部分傳統應用場景并在過去很長時間里被驗證是有效的，但隨著納米光子學逐漸向寬頻、非線性以及集成光學等應用場景的拓展，這種模板化的器件設計方法開始顯得力不從心。一方面，我們無法確保傳統模板庫的設計可以實現最優設計效果，另一方面從傳統模板庫出發我們也無法確保器件設計是否已經達到其性能極限以及與其他器件設計的比較優勢在哪里。
在這種背景下，一種新興的自上而下的設計方式——逆向設計（inverse design），又稱反求設計——開始受到納米光子學研究人員的重視，并經過近20年的發展逐漸探索出一系列的設計優化方法。近日，來自美國普林斯頓大學的研究人員在《NaturePhotonics》上刊發了他們對納米光子學逆向設計的綜述研究，總結了這一領域的發展情況以及面臨的挑戰，下面我們一起來了解一下。
2. 發展歷史
對比設計流程可以迅速了解逆向設計與傳統設計流程的差異。傳統的基于模板的器件設計依靠對相關物理過程的先驗知識與經驗，從模板庫中按圖索驥挑選出合適的設計原型，再通過對既有器件方案的局部調整來滿足特定應用場景的特性需求。相反，逆向設計則是從所需要的特性結果直接出發（優化目標），通過相關方法論和計算原理（優化算法，器件模擬仿真等）對多個設計參數同時優化，直接反求出所需的光學結構。
這種設計方法將器件的設計問題轉換為多參數的優化問題，使器件構型不拘泥于某種特性的基礎樣式，因而對不同的設計需求有更強的適應性，可以提供更為系統和全面的器件特性優化，甚至創生出全新的器件構型模式。從一種更高層的角度來看，逆向設計理論上還可以用來探究器件的性能極限，這對納米光子學的器件理論發展有極其重要的指導價值。
事實上反求問題在物理學領域已經有超過幾百年的發展歷史，一些早期的例子包括求解最速曲線（branchistochrone problem），最小作用量（principle ofleast action），以及特征值反求解微分方程等等。他們擁有的一個共同特征是基于一個已知的優化目標函數，在某種系統演化規則（運動方程、微分算子等）的指導下反求出系統的特性參數。
在納米光子學領域，關于逆向設計較早的嘗試可以追溯到90年代末期。當時，Spühler等人使用了遺傳算法設計并最終制造了一組基于SiO2/SiON的電信光纖脊形波導耦合器。遺傳算法優化了SiON核心的分布間距，獲得了較直接耦合相比2dB的效率提升（圖1g）。Cox和Dobosn等人則使用了梯度下降算法實現了對二維周期陣列的能帶寬度優化，使結構能隙增大了約34%（圖1h）。這兩個早期案例也分別代表了兩種典型的優化求解流派，即基于隨機演化的遺傳（進化）優化和基于梯度信息的有向搜尋優化。遺傳算法可以較好的處理復雜的非凸優化問題，然而需要更多的計算資源（往往多數個數量級）；而基于梯度的優化算法盡管更為經濟通用，但是其搜尋結果往往止步于局部最優解（local optimum）。
在之后五年時間里，逆向設計在目標函數的設計方式以及數值求解方法上獲得了巨大的發展。其中大部分的研究主要集中在兩個方面，一是優化光子晶體的能帶帶寬，二是優化波導中的模式耦合。這類問題通常有具有較高的幾何對稱性，設計參數相對集中，可以使用基于梯度優化的方法很好的處理。典型的例子包括使用平面波展開法反求三維面心立方（fcc）光子晶體，使用級聯算法（cascading algorithm）迭代優化絕熱光纖錐（taper），以及使用拉格朗日最值法優化光子晶體共振腔設計等。
影響更為深遠的發展發生在2003至2005年這段時間中，其成果也基本確定了該領域隨后十多年的發展格局。一方面，逆向設計在這段時間里進一步拓展了其在光學領域的實用價值，囊括了寬頻低損耗彎折光子晶體波導（低于1%的傳輸損耗，見圖1），微納分頻多路器（例如傳輸損耗不超過23%的三端多路器，見圖1），寬禁帶光子晶體設計等一系列前沿應用。另一方面，隨著密度拓撲（density topology）和水平集（level-set）等拓撲優化方法的引入，極大的拓展了逆向設計的通用性和計算效率。這兩種計算方法也成為目前兩種較為主流的逆向設計形貌優化方法。
以拓撲優化取代參數化的曲線形貌優化為器件的構型設計提供了一種更全面和系統的優化方案。以水平集（level-set）方法為例，介質材料的分布邊界不再是一套基于解析幾何的參數化曲線，而是表示為一個高維曲面與參考水平面的相交。曲線的演化因而也就不再拘泥于固定解析方程式的參數變化，而可以通過高維曲面與參考水平面的相對運動實現復雜的拓撲變化。密度拓撲優化( density topology）則更為直接，它將優化區域表示為一系列離散化的像素單元，每個單元的電磁參數特性，如介電常數，被表示為多種備選材料非此即彼的參數組合。通過求解最終的優化方程便可以直接獲得介質材料在每個像素單元的分布模式。
3. 應用領域
得益于上述設計方法與計算方法的進步，逆向設計在納米光子學領域繼續高歌猛進，開始向太陽能收集、色散工程、亞波長聚焦、納米光刻等應用上開疆拓土。目前，逆向設計主要被應用在非線性光學（Nonlinear optics）、奇異與拓撲光子學（Exceptionaland topological photonics）、納米光學和超穎表面(Nanoscale optics and metasurfaces)等器件的設計上。
圖 2非線性光學。圖中顯示了逆向設計在非線性光學領域的三個初始應用。a，由非周期性交替的AlGaAs /AlOx層組成的共振腔，可以用于增強二次諧波產生的效率。b，c，使用密度拓撲優化的得到的砷化鎵多軌環型諧振器，用于(b)二次諧波和(c)差頻的產生。d，用于二次諧波產生的磷化鎵超穎表面。非線性品質因子在上述所有的設計中均比先前報道的基于傳統模板庫的設計好的一到三個數量級。e，各類用于二次諧波生成器的設計對比，圖a中的逆向設計拔得頭籌。
在非線性光學領域，逆向設計主要被用來指導光學共振腔的設計。擁有長作用時間、小作用范圍的高品質共振腔是實現非線性光學效應的關鍵部件之一，其往往需要對作用頻率、共振模式衰減率、以及非線性耦合度等多項參數同時優化。經典的模板設計通常無法處理這類復雜的多參數優化問題，但這卻是逆向設計的標準應用場景。例如在設計二次諧波和差頻發生器上，逆向設計的結果一般可以使非線性效應指數提高一到三個數量級（圖2），這對于實現片上光子集成、低閾值激光、超連續光譜、單光子光源和非互逆器件有極其重要的價值。
控制器件的能帶特性一直是逆向設計的主要應用場景之一，而隨著拓撲光子學的興起，利用逆向設計獲得器件奇異點（Exceptionalpoint）再一次成為一個熱門方向。奇異點出現在非厄米（non-Hermitic）系統中，通常表現為多個能態融合合并為一個態。區別于普通的能級簡并現象，即多個態擁有相同的能量，奇異點上只擁有一個合并的態，并在其附近伴隨出現劇烈的能量變化。跨越奇異點會往往會出現模式跳變等反常現象，因此它在有向輸運（directional transport）、反常激光（anomalous lasing）和頻率選擇等方面有獨特的應用的價值。
奇異點可以出現在不同的光學系統中，傳統的奇異點設計方法一般采用增益-損耗介質耦合共振器、耦合波導等結構實現。逆向設計可以在結構中更為靈活的創造奇異點，以適應其他的器件設計限制條件。例如圖3左中展示了基于密度拓撲優化設計的帶有奇異點的二維光子晶體。
圖 3（左）奇異與拓撲光子學。a，b，通過密度拓撲優化獲得的二維正方晶格及其中的模式分布和能帶圖。c，d，在布里淵區的Γ點處單極，偶極和四極模式（標記為M，D和Q）合并產生異常點。 所得到的Dirac能帶結構和及其自正交的光學模式極大的增強了該點附近的局部態密度（LDOS），可以引發導致增強的自發輻射和非線性效應。（右）實驗制造的多路器。a，b，Piggott等人設計的寬帶雙通道多路器的掃描電子顯微鏡圖像，用于分離1,300 nm（藍色）和1,550 nm（紅色）信號。c，d，Su等人設計的三通道多路器，用以分離分離1,500 nm（藍色），1,540 nm（綠色）和1,580 nm（紅色）的信號。
大規模優化算法在納米光學和超穎表面設計上也同樣表現突出。例如Bahargave和Yablonovitch等人使用含邊界的優化算法設計出了自熱率較目前工業標準低50%的近場換能器（圖4a）；Lee等人使用邊界元素法（boundary element method）設計出了適用于任意納米結構的電磁場力矩裝置（圖4b）；Deng和Korvnik等人則利用密度拓撲法為球形導體設計出了基于單種材料的隱身器，使共軸散射功率降低了一個數量級（圖4c）。
圖 4逆向設計的進一步發展。a，用于熱輔助磁記錄的近場換能器（Fat NFT），與工業標準99相比，自熱率降低50％。 b，在采用反向設計以增加光學扭矩的裝置。c，使用拓撲優化設計的三維電磁隱身器。 d，使用逆向設計獲得的超穎表面對紅外光譜的有效分離。e，1)使用逆向設計獲得的波導耦合器，其比比傳統結構有更大的帶寬。f，利用逆向設計優化環形諧振器與多個模波導之間的多模耦合。
上述的每個設計案例都難以通過對標準設計模板的簡單調參來實現。此外，采用伴隨密度拓撲優化設計出的超穎平面結構在折射控制、結構顯色（structural colour）、入射耦合、極化控制、吸收增強等傳統光學領域也取得了積極的成果。
在光伏領域應用方面，Lee等人在2017年首次報道了通過逆向設計在非晶硅表面引入準隨機幾何紋樣從而使其對400 nm到1200 nm入射光的陷光能力提升了約5倍左右（圖5a）。而Kim和Xiao等人分別設計出了效率約為70%的紅外分光器，以實現光伏系統的分頻高效運行（圖4d）。之前提到的高保真模式多路器也是逆向設計的另一個經典的成功案例。Frellse和Piggott等人就使用密度拓撲法設計出了尺寸在數個平方微米，傳輸損耗在5dB以內的電訊多路器（圖3右）。
圖 5逆向設計超穎表面上的應用。a，由Sell等人設計的一種能夠實現1,000 nm和1,300 nm TE偏振光角度分離的超穎表面結構，其具有75％的絕對效率（Effabs）和95％的相對效率（Effrel）。 b，Callewaert等人為微波應用（~26-33 GHz）設計的三維極化分離器，可實現對不同極化方向入射光的有向分離。c，由Lee等人設計實現的基于表面準隨機紋樣實現光吸收增強的非晶硅太陽能電池。d，由Shen等人設計的一種基于拓撲優化設計的偏振器，具有約90％的轉換效率。
4. 總結與展望
然而，不得不承認的是，逆向設計目前依然面臨巨大的挑戰。盡管從2004年以來大量的設計結構被確認為是工藝可行的，但至今沒有任何一個結構能實現廣泛的工業應用。這主要歸因于逆向設計獲得的極小的特征尺寸往往只能采用電子束光刻才能夠精準的制備，而不是更為經濟通用的傳統光刻技術。
從概念上來說，這一問題可以通過增大逆向設計中的最小離散單元（像素單元）的尺寸來解決，但降低離散精度往往會導致優化程度的下降，很多在之前被廣泛使用的基于光滑連續曲線的優化算法也面臨失效的風險。因此，為了使逆向設計能獲得更為廣泛的應用，最為關鍵的一個條件是提出一種有足夠穩定性的，能匹配適應傳統光刻技術的優化計算方法。一些早期的嘗試包括使用盡可能大的離散單元或曲率，并將工藝誤差的影響考慮進優化目標函數。
除此之外，器件的迭代優化求解過程需要使用大量的仿真模擬來獲得器件性能的調控響應，這也對計算資源和計算效率提出了更高的需求。高性能的器件模擬技術也將是成為推動逆向設計進一步發展的重要一環。這也表明，基于計算機仿真模擬的器件物理研究方法將是納米光子學未來發展的主要方向之一，其不但可以在傳統分析場景中為器件的工作原理建立清晰直觀的物理場景，更是實現器件參數調優、器件電腦輔助設計(CAD)的重要核心技術。
參考文獻：
Molesky S, LinZ, Piggott A Y, et al. inverse design in nanophotonics. Nature Photonics, 2018.
DOI: 10.1038/s41566-018-0246-9
https://www.nature.com/articles/s41566-018-0246-9#article-info
